已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax+b的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2.设g(x)=f(

已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax+b的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2.设g(x)=f(x)+m/（x-1）是[2,+∝)上的增函数,求实数m的最大值；怎么做呢,答案好像是2或3吧.

问答/253℃/2023-10-03 00:49:54

优质解答：

f'(x)=x^2-2x+a

∵图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2

∴f'(0)=a=3,且f(0)=b=-2

∴f(x)=1/3x^3-x^2+3x-2

g(x)=1/3x^3-x^2+3x-2+m/(x-1)

g'(x)=x^2-2x+3-m/(x-1)²

∴g(x)=f(x)+m/（x-1）是[2,+∝)上的增函数,

∴x≥2时,g'(x)≥0恒成立

∴x^2-2x+3-m/(x-1)²≥0

m/(x-1)²≤x^2-2x+3=（x-1)²+2

m≤(x-1)⁴+2(x-1)²=[(x-1)²+1]²-1恒成立

∵x≥2∴x-1≥1∴(x-1)²≥1

∴(x-1)²=1时,[(x-1)²+1]²-1取得最小值3

∴m≤3,m的最大值是 3

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