1月29日数学22题请教： 22.已知数列｛an｝满足：a1=1，3an+12+3an2-10anan+1=3，an

1月29日数学22题请教：

22.已知数列｛an｝满足：a1=1，3an+12+3an2-10anan+1=3，an

问答/124℃/2025-04-25 18:58:49

优质解答：

解题思路： 第一问的简单方法没想出，想到的是“先猜想结论，再用数学归纳法进行证明”（但不是证明的猜想的这个结论，而是由猜想的结论先求出an的通项公式，用数学归纳法证明an的通项公式正确，从而猜想的结论正确）

解题过程：

22.已知数列{an}满足：a1=1，3an+12＋3an2－10anan+1＝3，an＜an+1（n∈N*）．

(1)证明：｛3an+1-an｝是等比数列

第一问简单方法没想出，想到的是“先猜想结论，再用数学归纳法进行证明”（但不是证明的猜想的这个结论，而是由猜想的结论先求出an的通项公式，用数学归纳法证明an的通项公式正确，从而猜想的结论正确）

第二问指证明了一半，左不等式还没证出来.

证明：（1）由 ， 得 ，

得 （），

再由， 依次可得 ，，，

从而，，，81，

猜想：数列{}是首项为9、公比为3的等比数列，

如此的话，则其通项公式应为 ，……………………①

那么，代入， 即 ，

得 ， 即 ，…………………………②

联立①②，解得 ，

下面我们用数学归纳法来证明这一结论：

( I ) 当n＝1时，显然成立；

( II ) 假设当n＝k时成立，即 ，

则 由 ，即 ，

解得

， 即 当n＝k＋1时，结论成立，

由数学归纳法原理，结论对任意正整数n都成立，

从而，可得 结论也成立，

∴ 数列{}是等比数列。

（2）一方面，，

∴，

另一方面，的证明暂时（不是暂时，是好几天）没有思路。

倒是想到了数学归纳法，但是没有证明出来。我已经想其他老师求助了，再等等看．

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