在数列{an}中a1=1Sn是其前几项和,当n>=2时,Sn与an满足关系式2Sn^2=an(2Sn-1)证明{1/Sn

在数列{an}中a1=1Sn是其前几项和,当n>=2时,Sn与an满足关系式2Sn^2=an(2Sn-1)证明{1/Sn}是等差数列

并求{an}的通项公式(2)设bn=Sn/2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn

问答/102℃/2024-04-29 10:37:52

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1) 2Sn^2=an*(2Sn-1)=(Sn-S(n-1)(2Sn-1)

2Sn^2=2Sn^2-2Sn*S(n-1)-Sn+S(n-1)

S(n-1)-Sn=2Sn*S(n-1)

两边同除以 Sn*S(n-1) 得

1/Sn-1/S(n-1)=2

由于 1/S1=1/a1=1,

所以 {1/Sn}是首项为1,公差为2的等差数列.

则 1/Sn=2n-1

Sn=1/(2n-1)

a1=1,当n>=2时,an=Sn-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)=-2/(2n-1)(2n-3)

所以,an={1(n=1);-2/(2n-1)(2n-3) (n>=2) (分段表示)

2)b1=S1/3=1/3,bn=Sn/(2n+1)=1/[(2n-1)*(2n+1)]=1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (n>=2)

所以若 n=1,则T1=1/3,

若n>=2,则Tn=b1+1/2*[1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]=1/3+1/2*[1/3-1/(2n+1)]

=n/(2n+1)

显然,n=1时,T1=1/3也满足上式,

所以 Tn=n/(2n+1) (n>=1,n为正整数).

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