国庆高等数学函数,极限概念疑问12,请仔细读我的疑问,不要一两句的应付回答,

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12、有个定理说：如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)=A+B,书上给了证明,它说因为limf(x)=A,limg(x)=B,有f(x)=A+α,g(x)=B+β,其中α,β为无穷小,我这么想,f(x)是个函数,A是个常数,α又是无穷小,但f(x)的值可以在范围内任取,假设f(x)=x2+4x-7,那函数就有个取值范围,f(x)=x2+4x-7=A+α,如果x2+4x-7=5的话,那意思是A+α就等于5,f(x)是可由最小值取到正无穷的嘛,它等于一个常数加无穷小,这种表示很奇怪,它是怎么得到的有f(x)=A+α的?一个函数=一个常数+无穷小,一个范围=一个常数+无穷小,这不是很奇怪吗?无法理解.

问答/261℃/2024-05-06 07:17:23

优质解答：

.那个证明是脑缺的.不够严谨,另外你对极限的理解有问题,f(x)=x2+4x-7

是没有极限的.

需要条件：limf(x),limg(x)都存在.

设 limf(x)=A,limg(x)=B,则对任ε＞0,

(1)存在δ1＞0,使得当0＜|x-x0|＜δ1时,有|f(x)-A|＜ε/2,

(2)存在δ2＞0,使得当0＜|x-x0|＜δ2时,有|g(x)-B|＜ε/2,

(3)取δ=min(δ1,δ2)＞0,当0＜|x-x0|＜δ时,

同时有|f(x)-A|＜ε/2和|g(x)-B|＜ε/2,于是

|[f(x)+g(x)]-(A+B)|=|[f(x)-A]+[g(x)-B]|

≤|f(x)-A|+|g(x)-B|＜ε/2+ε/2=ε,

则lim[f(x)+g(x)]=A+B=limf(x)+limg(x) .

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