已知f(x)=根号下4+1/x2,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-1/an+1)(n属于N*)在曲线y=f
已知f(x)=根号下4+1/x2,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-1/an+1)(n属于N*)在曲线y=f(x)上,且a1=1,an>0.
已知f(x)=根号下4+1/x2,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,1/an+1)(n属于N*)在曲线y=f(x)上,且a1=1,an>0.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)数列{bn}的首项b1=1,前n项和为Tn,且Tn+1/a2n=Tn/a2n+1+16n2-8n-3,设定b1的值使数列{bn}是等差数列
（3）求证Sn大于1/2根号下4n+1-1
问答/337℃/2024-12-09 07:35:26
优质解答：
(1)√(4+1/an^2)=1/a(n+1)
所以4+1/an^2=1/a(n+1)^2
所以{1/an^2}为首项1/a1^2=1,公比为4的等差数列
1/an^2=4n-3
an=√[1/(4n-3)]
(2)?题目有问题,b1=1啊,怎么还要设定?
(3)1.当n=1时,Sn=a1=1
1/2√(4n+1)-1=(√5-2)/2
左边>右边,不等式成立
2.当n≥2时,假设当n=k时,不等式成立
即1+√1/5+√1/9+……+√[1/(4n-3)]>1/2√(4n+1)-1
则当n=k+1时,1+√5+√9+……+√[1/(4n-3)]+√[1/(4n+1)]>1/2√(4n+1)-1+√[1/(4n+1)]
要证1/2√(4n+1)-1+√[1/(4n+1)]≥1/2√(4n+5)-1
即证1/2(4n+1)+1≥1/2√[(4n+1)(4n+5)]
即证4n+3≥√[(4n+1)(4n+5)]
由基本不等式可知,上述不等式成立
所以1+√5+√9+……+√[1/(4n-3)]+√[1/(4n+1)]>1/2√(4n+1)-1+√[1/(4n+1)]≥1/2√(4n+5)-1
即当n=k+1时,不等式也成立
综上1.2.可得Sn>1/2√(4n+1)-1在n∈N*时成立
(2)题虽然有问题,但我明白你的意思,b1是不确定的,你写错了
若是如此,答案见下
由题意得Tn+(8n-3)=(8n+1)Tn+16n^2-8n-3
8nTn=-16n^2+16n
Tn=-2n+2
易得{bn}为等差数列,b1=T1=0