已知：函数f（x）=x3-6x2+3x+t，t∈R．

已知：函数f（x）=x3-6x2+3x+t，t∈R．

（1）求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离；

（2）设函数g（x）=exf（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围．（注：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2））

问答/272℃/2024-05-07 09:15:12

优质解答：

（1）令f′（x）=3x2-12x+3=0，设其两根为（x1，x2）（x1＜x2）

∴x1+x2=4，x1x2=1

∴x2-x1=2

3，

设两个极值点所对应的图象上两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）

则y1-y2=（x13-6x12+3x1+t）-（x13-6x12+3x1+t）=12

3，

∴函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离为

12+(12

3)2=2

111

（2）f′（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex

∵g（x）有三个不同的极值点

∴x3-3x2-9x+t+3=0有三个不等根；

令h（x）=x3-3x2-9x+t+3，则h′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）

∴h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减

∵h（x）有三个零点

∴h（-1）＞0，h（3）＜0

∴t+8＞0，t-24＜0

∴-8＜t＜24．

试题解析：

（1）令f′（x）=3x2-12x+3=0，设其两根为（x1，x2）（x1＜x2），利用韦达定理可得x1+x2=4，x1x2=1，进而可求x2-x1，y1-y2，故可求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离；

（2）求导函数，f′（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex，函数g（x）=exf（x）有三个不同的极值点，所以x3-3x2-9x+t+3=0有三个不等根，构造函数h（x）=x3-3x2-9x+t+3，可知h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减，从而h（-1）＞0，h（3）＜0，故可求t的取值范围．

名师点评：

本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调性，考查函数的极值，解题的关键是将函数g（x）=exf（x）有三个不同的极值点，转化为x3-3x2-9x+t+3=0有三个不等根．

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