过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O当三角形AOB面积最大时,求直线l的方程

问答/448℃/2024-05-09 20:59:05

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设直线方程y＝K（x＋1）——过左焦点,且不垂直于x轴

联立方程组x^2＋2y^2＝2

得到关于x的二次方程(1+2K^2)x^2+4K^2x+2K^2-2=0

两根之和的平方－4倍的两根之极＝两根之差的平方＝8K^2+8/（1+2K^2）^2

设直线与椭圆的交点分别是A、B

则AB^2=(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2=|X1-X2|^2*(1+K^2)

原点到AB的距离＝|K|/根号下（K^2+1）

S=0.5|K|*|X1-X2|=K*根号下(2K^2+2)/(1+2K^2)＝根号下（0.5-1/(2*（2k^2+1）^2）)

可知K越大三角形面积越大

当直线垂直于X轴时三角形面积最大,直线方程X=1,X=-1

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